Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = π$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.4

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.9

Multiplique.

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Etapa 1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.9.2

Multiplique $1 + \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1.1

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.1.2

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.10.2.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.2

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.3

Reorganize os termos.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.12.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Etapa 1.12.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Etapa 1.12.1.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Etapa 1.12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.12.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Etapa 1.12.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 1.12.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.12.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1}$

Etapa 1.12.3.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(π, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $x - π$ por $1$ .

$y + 1 = x - π$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = x - π - 1$

Etapa 3