Cálculo Exemplos

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 64$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x = 3 y^{2} y'$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Reescreva a equação como $3 y^{2} y' = 2 x$ .

$3 y^{2} y' = 2 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = 2 x$ por $3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = 2 x$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 64$ e $y = 16$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $64$ na expressão.

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $16$ na expressão.

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

Etapa 1.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.3.1

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

Etapa 1.7.3.2

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

Etapa 1.7.3.3

Multiplique $3$ por $256$ .

$\frac{128}{768}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $128$ e $768$ .

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Etapa 1.7.4.1

Fatore $128$ de $128$ .

$\frac{128 (1)}{768}$

Etapa 1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.4.2.1

Fatore $128$ de $768$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Etapa 1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Etapa 1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{6}$ e um ponto determinado $(64, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $- 64$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $16$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 32$ e $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

Etapa 3