Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique ${(3 - (1))}^{2}$ por $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Etapa 1.2.3.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$y = 2^{2}$

Etapa 1.2.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 4$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(3 - x)}^{2}$ como $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Etapa 2.2

Expanda $(3 - x) (3 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 6 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Etapa 2.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4

Combine os termos.

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Etapa 2.6.4.1

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.2.1

Mova $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 2.6.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.3

Some $1$ e $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.4

Multiplique $4$ por $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.5

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.6.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.6.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.6.3

Some $3$ e $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Etapa 2.6.4.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Etapa 2.6.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Etapa 2.6.4.7.3

Some $3$ e $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Etapa 2.6.4.8

Subtraia $24 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Etapa 2.6.4.9

Some $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Etapa 2.6.5

Reordene os termos.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Etapa 2.7

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Etapa 2.8.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Etapa 2.8.1.4

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Etapa 2.8.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Etapa 2.8.1.6

Multiplique $36$ por $1$ .

$6 - 30 + 36$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.8.2.1

Subtraia $30$ de $6$ .

$- 24 + 36$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 24$ e $36$ .

$12$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $12$ e um ponto determinado $(1, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $12 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = 12 x - 12 + 4$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 12$ e $4$ .

$y = 12 x - 8$

Etapa 4