Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ at $(2, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{x + 1}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$3 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4

Some $0$ e $1$ .

$3 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.5

Combine $3$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{3}{{((2) + 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{9}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{3}$ e um ponto determinado $(2, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 2$ e $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Etapa 3