Cálculo Exemplos

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- \frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2

Simplifique $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2.1.3

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2.1.4

Multiplique $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.2.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2.1.4.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - \frac{π}{4}$ e $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \cot (x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{5 π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $5 \csc^{2} (x)$ e $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Etapa 2.4.2

Some $5 \csc^{2} (x)$ e $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 2.6.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Etapa 2.6.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.4.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 2.6.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 2.6.4.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 2.6.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.6.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.6.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$5 \cdot 2^{1}$

Etapa 2.6.5.5

Avalie o expoente.

$5 \cdot 2$

Etapa 2.6.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$10$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $10$ e um ponto determinado $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.1.5

Combine $5$ e $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $\frac{5 π}{2}$ dos dois lados da equação.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os termos opostos em $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Etapa 3.3.2.3.2

Subtraia $5 π$ de $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Etapa 3.3.2.4

Divida $0$ por $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Etapa 3.3.2.5

Some $10 x$ e $0$ .

$y = 10 x + 1$

Etapa 4