Cálculo Exemplos

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(- 1, 8)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = 8$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$3 {({(- 1)}^{2} - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$3 {(1 - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 {(1 + 1)}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.2.1

Some $1$ e $1$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 (2 (- 1) - 1)$

Etapa 1.4.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$12 (- 2 - 1)$

Etapa 1.4.2.5

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$12 \cdot - 3$

Etapa 1.4.2.6

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$- 36$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 36$ e um ponto determinado $(- 1, 8)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 36 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 36 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 8 = 0 + 0 - 36 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 8 = - 36 x - 36 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$y - 8 = - 36 x - 36$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = - 36 x - 36 + 8$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 36$ e $8$ .

$y = - 36 x - 28$

Etapa 3