Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln^{4} (x)$ at $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln (2^{4})$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \ln ({(2)}^{4})$

Etapa 1.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = \ln (16)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = \ln (16)$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{4}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como ${(x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por ${(x)}^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{4}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.3.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x}$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 2.4

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(2, \ln (16))$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (16)) = 2 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \ln (16) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \ln (16) = 2 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y - \ln (16) = 2 x - 4$

Etapa 3.3.2

Some $\ln (16)$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x - 4 + \ln (16)$

Etapa 4