Cálculo Exemplos

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{π}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \arcsin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 1.3

Combine $3$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Etapa 1.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Etapa 1.5.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Etapa 1.5.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Etapa 1.5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Etapa 1.5.1.6

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Etapa 1.5.1.7

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Etapa 1.5.1.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Etapa 1.5.1.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Etapa 1.5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.5.5.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Etapa 2.3.1.3.2

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $- \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Etapa 2.3.3.6

Fatore $- 1$ de $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Etapa 2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Etapa 2.3.3.8

Reescreva $- (2 \sqrt{3} - π)$ como $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Etapa 2.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Etapa 3