Cálculo Exemplos

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{3}$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) - 6 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.1.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.5.1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.5.1.4.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 1.5.2

Some $2 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $5 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Etapa 2.3.1.4.2

Combine $\frac{π}{3}$ e $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Etapa 2.3.1.4.3

Combine $\frac{π \cdot - 5}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova $- 5$ para a esquerda de $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Etapa 2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Etapa 2.3.3.8

Reescreva $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ como $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Etapa 2.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Etapa 3