Cálculo Exemplos

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = - 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Etapa 1.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Etapa 1.1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ como ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.7.1

Some $6 x$ e $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $6$ por $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $54$ e $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Etapa 1.4.2.2

Combine $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ e $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $54$ por $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Etapa 1.6.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Etapa 1.6.2.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Etapa 1.6.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1}$

Etapa 1.6.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(0, - 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $0 \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$y + 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - 3$

Etapa 3