Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{3}{4} \cdot π$ por $x$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2.2

Simplifique $- 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$y = - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2

Cancele o fator comum.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.3

Reescreva a expressão.

$y = - 1 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{3}{4} π$ e $y = - \sqrt{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$- 2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.4.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (- \sqrt{2})$

Etapa 2.4.5

Multiplique.

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Etapa 2.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\sqrt{2}$ e um ponto determinado $(\frac{3}{4} \cdot π, - \sqrt{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.2.2

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{3 π}{4}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $\sqrt{2}$ dos dois lados da equação.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $- \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $- \sqrt{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 3 \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.8

Reescreva $- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ como $- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4