Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x - 1$ at $x = 0$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 0$ .

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Etapa 1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 1$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Etapa 1.2.3

Simplifique $4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 4 \cdot 0 + 2 (0) - 1$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 + 2 (0) - 1$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 1$

Etapa 1.2.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $8 x + 2$ e $0$ .

$8 x + 2$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$8 (0) + 2$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 + 2$

Etapa 2.6.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(0, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (0))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y + 1 = 2 x$

Etapa 3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = 2 x - 1$

Etapa 4