Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = e$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Subtraia $2 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Mova $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 1.5.2.1.2

Subtraia $2 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 1.5.2.2

Some $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 1.5.2.3

Some $- 2 e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Etapa 1.5.2.4

Some $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Etapa 1.5.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 1$ .

${(1)}^{2} e^{1}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 e^{1}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $e^{1}$ por $1$ .

$e^{1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique.

$e$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $e$ e um ponto determinado $(1, e)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $e \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e$ .

$y - e = e x - 1 \cdot e$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$y - e = e x - e$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $e$ aos dois lados da equação.

$y = e x - e + e$

Etapa 2.3.2.2

Combine os termos opostos em $e x - e + e$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Some $- e$ e $e$ .

$y = e x + 0$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $e x$ e $0$ .

$y = e x$

Etapa 3