Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{6}}$ at $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 6}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 6$ .

$- 6 x^{- 7}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{7}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{7}}$ .

$\frac{- 6}{x^{7}}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{x^{7}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- \frac{6}{{(1)}^{7}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{6}{1}$

Etapa 1.5.2

Divida $6$ por $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 6$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 6 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - 6 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 6 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - 6 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - 6 x - 6 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y - 1 = - 6 x + 6$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - 6 x + 6 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $6$ e $1$ .

$y = - 6 x + 7$

Etapa 3