Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Mova $8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Etapa 1.2.6

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Etapa 1.2.6.2

Reordene os termos.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Etapa 1.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $2 y^{8} x$ dos dois lados da equação.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ por $8 y^{7} x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ por $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.2

Cancele o fator comum de $y^{8}$ e $y^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.2.1

Fatore $y^{7}$ de $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.2.2.1

Fatore $y^{7}$ de $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Etapa 1.5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Etapa 1.5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.3.1

Fatore $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.3.2.1

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Etapa 1.5.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Etapa 1.5.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Etapa 1.5.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 3$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$- \frac{y}{4 (3)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{1}{4 (3)}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{12}$ e um ponto determinado $(3, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{12}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $3$ de $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.5

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{- 1}{4}$ e $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Some $1$ e $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Etapa 3