Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 1.2

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Etapa 1.3.3.6.5

Avalie o expoente.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 1.3.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 1.3.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.3.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.3.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1}$

Etapa 1.3.5.5

Avalie o expoente.

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 2 x + 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{4}$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = 2 x + \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 1 = 2 x - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2 x + \frac{- π + 2}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- π$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) + 2}{2}$

Etapa 2.3.3.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) - 1 (- 2)}{2}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (π) - 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π - 2)}{2}$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva $- (π - 2)$ como $- 1 (π - 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (π - 2)}{2}$

Etapa 2.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 x - \frac{π - 2}{2}$

Etapa 3