Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{\frac{9}{2}})$ ; $(1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{9}{2}}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1})$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}})$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}})$

Etapa 1.7

Combine $\frac{9}{2}$ e $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$

Etapa 1.8

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ por $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{9}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.9.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{9}{2}}}$

Etapa 1.9.2

Mova $x^{\frac{7}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{9}{2}} x^{- \frac{7}{2}}}$

Etapa 1.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.10.1

Multiplique $x^{\frac{9}{2}}$ por $x^{- \frac{7}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.10.1.1

Mova $x^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{9}{2 (x^{- \frac{7}{2}} x^{\frac{9}{2}})}$

Etapa 1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{2 x^{- \frac{7}{2} + \frac{9}{2}}}$

Etapa 1.10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{2 x^{\frac{- 7 + 9}{2}}}$

Etapa 1.10.1.4

Some $- 7$ e $9$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.10.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{9}{2 x^{1}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{9}{2 x}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{9}{2 (1)}$

Etapa 1.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{9}{2}$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{9}{2} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $\frac{9}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{9}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Combine $\frac{9}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{9}{2}$

Etapa 3