Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 5$ at $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 5$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

Etapa 1.2.4

Simplifique ${(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$ .

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = 8 - 4 {(2)}^{2} + 5$

Etapa 1.2.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 8 - 4 \cdot 4 + 5$

Etapa 1.2.4.1.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = 8 - 16 + 5$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $16$ de $8$ .

$y = - 8 + 5$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $- 8$ e $5$ .

$y = - 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = - 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $3 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$3 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4 - 8 \cdot 2$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 - 8 \cdot 2$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$12 - 16$

Etapa 2.5.2

Subtraia $16$ de $12$ .

$- 4$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 4$ e um ponto determinado $(2, - 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 4 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 3 = - 4 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 4 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 3 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 3 = - 4 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 3 = - 4 x - 4 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y + 3 = - 4 x + 8$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - 4 x + 8 - 3$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$y = - 4 x + 5$

Etapa 4