Cálculo Exemplos

$y = 4 e^{x} + x$ , $(0, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{x} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 e^{x} + 1$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$4 e^{0} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $1$ .

$5$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $5$ e um ponto determinado $(0, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 5 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = 5 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 4 = 5 x$

Etapa 2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = 5 x + 4$

Etapa 3