Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

Subtraia $2$ de $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = \frac{1}{36}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ como ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Etapa 2.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Etapa 2.6

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Etapa 2.7.1.3

Subtraia $2$ de $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Etapa 2.7.1.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Etapa 2.7.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Etapa 2.7.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Subtraia $1$ de $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Etapa 2.7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Etapa 2.7.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Etapa 2.7.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Etapa 2.7.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Etapa 2.7.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Etapa 2.7.2.2.4

Combine $- 11$ e $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Etapa 2.7.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{108}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{11}{108}$ e um ponto determinado $(2, \frac{1}{36})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{11}{108}$ para o numerador.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.2.3.2

Fatore $2$ de $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.2.3.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.2.4

Combine $\frac{- 11}{54}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Etapa 3.3.1.2.5

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Etapa 3.3.1.3

Mova $11$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{1}{36}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $\frac{11}{54}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Etapa 3.3.2.3

Para escrever $\frac{1}{36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $108$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $\frac{11}{54}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.4.2

Multiplique $54$ por $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{36}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.4.4

Multiplique $36$ por $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Etapa 3.3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Etapa 3.3.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.6.1

Multiplique $11$ por $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Etapa 3.3.2.6.2

Some $22$ e $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Etapa 4