Cálculo Exemplos

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 8)}^{2}$ ; $(3, - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8)}^{2}] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 8$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 8$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + 0) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \cdot - 1$

Etapa 1.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - 1 \cdot {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.3.11.3

Reescreva $- 1 {(x^{2} - 8)}^{2}$ como $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.4.4

Fatore $x^{2} - 8$ de $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $x^{2} - 8$ de $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1.4.4.2

Fatore $x^{2} - 8$ de $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$

Etapa 1.4.4.3

Fatore $x^{2} - 8$ de $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$

Etapa 1.4.5

Reordene os fatores de $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.6.2.1

Mova $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 8) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.6.4

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.7

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

Etapa 1.4.8

Expanda $(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.9.1.1

Mova $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.4.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.1.3

Some $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.9.3.1

Mova $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.3.3

Some $2$ e $2$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.4

Multiplique $- 8$ por $- 5$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Etapa 1.4.9.5

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} - 64$

Etapa 1.4.10

Some $40 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 48 x^{2} - 64$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 27 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$108 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$108 - 96 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$108 - 96 - 5 \cdot 81 + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6.1.5

Multiplique $- 5$ por $81$ .

$108 - 96 - 405 + 48 {(3)}^{2} - 64$

Etapa 1.6.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$108 - 96 - 405 + 48 \cdot 9 - 64$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $48$ por $9$ .

$108 - 96 - 405 + 432 - 64$

Etapa 1.6.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.6.2.1

Subtraia $96$ de $108$ .

$12 - 405 + 432 - 64$

Etapa 1.6.2.2

Subtraia $405$ de $12$ .

$- 393 + 432 - 64$

Etapa 1.6.2.3

Some $- 393$ e $432$ .

$39 - 64$

Etapa 1.6.2.4

Subtraia $64$ de $39$ .

$- 25$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 25$ e um ponto determinado $(3, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 25 \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 25 \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 = 0 + 0 - 25 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 = - 25 x - 25 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 25$ por $- 3$ .

$y + 2 = - 25 x + 75$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 25 x + 75 - 2$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2$ de $75$ .

$y = - 25 x + 73$

Etapa 3