Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} + 2$ e $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.9

Some $6 x - 4$ e $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.2.12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.13.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Etapa 1.2.13.2

Mova $3$ para a esquerda de $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 1.3.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.1.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.4

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.7.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.7.3

Some $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.8

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.9

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.9.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.3.6.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.9.3

Some $2$ e $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Etapa 1.3.6.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 1.3.6.11

Some $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 1.3.6.12

Subtraia $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

Etapa 1.3.7

Reordene os termos.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.4

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

Etapa 1.5.1.7

Multiplique $12$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

Etapa 1.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.5.2.1

Subtraia $16$ de $15$ .

$- 1 + 6 + 12 - 8$

Etapa 1.5.2.2

Some $- 1$ e $6$ .

$5 + 12 - 8$

Etapa 1.5.2.3

Some $5$ e $12$ .

$17 - 8$

Etapa 1.5.2.4

Subtraia $8$ de $17$ .

$9$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $9$ e um ponto determinado $(1, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $9 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$y - 3 = 9 x - 9$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 9 x - 9 + 3$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 9$ e $3$ .

$y = 9 x - 6$

Etapa 3