Cálculo Exemplos

$y = \frac{2}{3} x^{2} - 3 x + 4$ at $(3, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{3} x^{2} - 3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $\frac{4 x}{3} - 3$ e $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 3$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$\frac{4 (3)}{3} - 3$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{3} - 3$

Etapa 1.6.2

Divida $12$ por $3$ .

$4 - 3$

Etapa 1.6.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(3, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 1 \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 1 \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$y - 1 = x - 3$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = x - 3 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 3$ e $1$ .

$y = x - 2$

Etapa 3