Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{35}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ e $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Etapa 1.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Etapa 1.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Etapa 1.5.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Etapa 1.7.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 1.7.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Etapa 1.7.1.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Etapa 1.7.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Etapa 1.7.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Etapa 1.7.1.1.4

Some $1$ e $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Etapa 1.7.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Etapa 1.7.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 1.7.3

Combine $4$ e $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Etapa 1.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $4$ por $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Etapa 1.7.5.2

Some $- 1$ e $64$ .

$\frac{63}{16}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{63}{16}$ e um ponto determinado $(4, \frac{35}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{63}{16}$ e $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $4$ de $16$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{63}{4}$ e $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $63$ por $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{35}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{35}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{35}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $35$ por $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 63$ e $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Etapa 3