Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2

Simplifique $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 2.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.14

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.15.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.15.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.3.5

Avalie o expoente.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.5.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.5.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.6.1

Cancele o fator comum.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.6.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 2.15.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 2.15.1.9

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.15.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10.5

Avalie o expoente.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

Etapa 2.15.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.12.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

Etapa 2.15.1.12.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.15.1.12.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + \frac{2}{2}$

Etapa 2.15.1.13

Divida $2$ por $2$ .

$- 1 + 1$

Etapa 2.15.2

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $0$ por $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

Etapa 4