Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = \frac{1}{9}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $8 + e^{x}$ por $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Combine os termos opostos em $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.3.2.2

Some $8$ e $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Fatore $- 1$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.6

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.7

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.8

Reescreva $- (e^{x} x - 8)$ como $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4.10

Reordene os fatores em $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Reescreva $0 \cdot e^{0}$ como ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 0 \cdot e^{0}$ e $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.6.1.4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.6.1.4.4.1

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Etapa 1.6.1.4.4.2

Reescreva o polinômio.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.4.3

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 0 \cdot e^{0}$ e $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4.7

Some $0$ e $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Reescreva $e^{0}$ como ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Etapa 1.6.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 2$ e $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.6.2.4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.6

Multiplique os expoentes em ${(e^{0})}^{2}$ .

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Etapa 1.6.2.4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.6.2

Multiplique $0$ por $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.8

Subtraia $2$ de $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Etapa 1.6.2.4.9

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 1.6.2.5

Aplique a regra do produto a $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Etapa 1.6.2.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Etapa 1.6.2.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Etapa 1.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Etapa 1.6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{8}{81}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $- - \frac{8}{81}$ .

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Etapa 1.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Etapa 1.6.4.2

Multiplique $\frac{8}{81}$ por $1$ .

$\frac{8}{81}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{8}{81}$ e um ponto determinado $(0, \frac{1}{9})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{8}{81}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{1}{9}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Etapa 3