Cálculo Exemplos

$y = 8 \sqrt{x}$ , $(4, 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Combine $8$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.12

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Mova ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.2

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.15.2.1

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.15.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 1.15.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.15.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.15.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.15.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.15.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1}$

Etapa 1.15.5

Avalie o expoente.

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(4, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x - 8 + 16$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 8$ e $16$ .

$y = 2 x + 8$

Etapa 3