Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ at $x = - 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = - {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 2$

Etapa 1.2

Simplifique $- {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 2$

Etapa 1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = {(- 1)}^{1 + 2} + 4 (- 1) + 2$

Etapa 1.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 4 (- 1) + 2$

Etapa 1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = - 1 + 4 (- 1) + 2$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = - 1 - 4 + 2$

Etapa 1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$y = - 5 + 2$

Etapa 1.2.2.2

Some $- 5$ e $2$ .

$y = - 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x + 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 2 x + 4$ e $0$ .

$- 2 x + 4$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 + 4$

Etapa 2.6.2

Some $2$ e $4$ .

$6$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(- 1, - 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 6 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 3 = 6 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $6 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 3 = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 3 = 6 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 3 = 6 x + 6 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$y + 3 = 6 x + 6$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = 6 x + 6 - 3$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$y = 6 x + 3$

Etapa 4