Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(25, \frac{26}{5})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 25$ e $y = \frac{26}{5}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Etapa 1.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Etapa 1.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 25$ .

$\frac{1}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 5^{1}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{3}}$

Etapa 1.6.1.3.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 125}$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $2$ por $125$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{250}$

Etapa 1.6.2

Para escrever $\frac{1}{10}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{250}$

Etapa 1.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $250$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25}{10 \cdot 25} - \frac{1}{250}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $10$ por $25$ .

$\frac{25}{250} - \frac{1}{250}$

Etapa 1.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 - 1}{250}$

Etapa 1.6.4.2

Subtraia $1$ de $25$ .

$\frac{24}{250}$

Etapa 1.6.5

Cancele o fator comum de $24$ e $250$ .

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Etapa 1.6.5.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{2 (12)}{250}$

Etapa 1.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.5.2.1

Fatore $2$ de $250$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 125}$

Etapa 1.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 125}$

Etapa 1.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{125}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{12}{125}$ e um ponto determinado $(25, \frac{26}{5})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{26}{5}) = \frac{12}{125} \cdot (x - (25))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{12}{125} \cdot (x - 25)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{26}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} x + \frac{12}{125} \cdot - 25$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{12}{125}$ e $x$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{125} \cdot - 25$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $25$ de $125$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 (5)} \cdot - 25$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $25$ de $- 25$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 \cdot 5} \cdot (25 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 \cdot 5} \cdot (25 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{5} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{12}{5}$ e $- 1$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12 \cdot - 1}{5}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} - \frac{12}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{26}{5}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{12 x}{125} - \frac{12}{5} + \frac{26}{5}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{12 x}{125} + \frac{- 12 + 26}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Some $- 12$ e $26$ .

$y = \frac{12 x}{125} + \frac{14}{5}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{12}{125} x + \frac{14}{5}$

Etapa 3