Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.2.2

Simplifique $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Etapa 1.2.2.2

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.2.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.2.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{3}$ e $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 2.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.14

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.15.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.15.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.3.5

Avalie o expoente.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.5.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.5.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.6

Reescreva $- 1 (\frac{3}{2})$ como $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.15.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2.15.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 2.15.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Etapa 2.15.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.1.11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Etapa 2.15.1.11.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.15.1.11.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.15.2

Combine frações.

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Etapa 2.15.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Etapa 2.15.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.15.2.2.1

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Etapa 2.15.2.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 1$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Para escrever $\frac{\sqrt{3}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.3.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.3.3.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Etapa 3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Etapa 3.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Etapa 3.3.3.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 4