Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.5

Expanda $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.1.6.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.4.1.6.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.6.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2.2

Some $2 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.3

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4

Some $5$ e $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Etapa 2.5.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{6}{9}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

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Etapa 2.5.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Etapa 2.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{2}{3}$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Etapa 4