Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ como ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{5}$ e ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.11

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.12

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Etapa 1.14

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.15.2

Multiplique $6 x^{2} + 8$ por $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.15.3

Fatore $2$ de $6 x^{2} + 8$ .

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Etapa 1.15.3.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.15.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.15.3.3

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.16

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17

Simplifique.

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Etapa 1.17.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.17.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 1.17.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.17.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.2.3

Some $12$ e $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.17.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.17.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.3.1.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.3.2

Some $16$ e $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.3.3

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.17.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Etapa 1.17.3.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.17.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Etapa 1.17.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

Etapa 1.17.3.6

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

Etapa 1.17.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.17.4.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

Etapa 1.17.4.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$\frac{32}{80}$

Etapa 1.17.4.3

Cancele o fator comum de $32$ e $80$ .

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Etapa 1.17.4.3.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

Etapa 1.17.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.17.4.3.2.1

Fatore $16$ de $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Etapa 1.17.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Etapa 1.17.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{2}{5}$ e um ponto determinado $(2, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{2}{5}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 4$ e $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

Etapa 3