Cálculo Exemplos

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2

Simplifique $8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ .

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Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$y = 8 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $8$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{2}$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 2.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.14

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{2}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.15.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 8 \cdot 1^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 2.15.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 8 \cdot 1 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 2.15.1.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 2.15.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0^{2}$

Etapa 2.15.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0$

Etapa 2.15.1.6

Multiplique $8$ por $0$ .

$- 8 + 0$

Etapa 2.15.2

Some $- 8$ e $0$ .

$- 8$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 8$ e um ponto determinado $(\frac{π}{2}, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 3.3.2

Simplifique $- 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 8 x - 8 (- \frac{π}{2})$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$y = - 8 x - 8 \frac{- π}{2}$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$y = - 8 x + 2 (- 4) \frac{- π}{2}$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y = - 8 x + 2 \cdot - 4 \frac{- π}{2}$

Etapa 3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y = - 8 x - 4 (- π)$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = - 8 x + 4 π$

Etapa 4