Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = e$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Simplifique.

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Etapa 1.6.2.2

Multiplique $e$ por $0$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 1.6.2.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(1, e)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $x - 1$ .

$y - e = 0$

Etapa 2.3.2

Some $e$ aos dois lados da equação.

$y = e$

Etapa 3