Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 4$ .

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Etapa 1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{4 (4) + 7}$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \sqrt{16 + 7}$

Etapa 1.2.2

Some $16$ e $7$ .

$y = \sqrt{23}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \sqrt{23}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x + 7}$ como ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x + 7$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.11

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.12

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique os termos.

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Etapa 2.13.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Etapa 2.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.14.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.16

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.16.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.16.2

Some $16$ e $7$ .

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ e um ponto determinado $(4, \sqrt{23})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Combine $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ e $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.2

Some $\sqrt{23}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\sqrt{23}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\sqrt{23}$ e $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.4.1

Multiplique $\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.3.3.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{23}$ como $23^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.2

Avalie o expoente.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.4.3

Some $- 8$ e $23$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.3.5

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4