Cálculo Exemplos

$y = 7 x - 6 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 6 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$7 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.10

Combine $- 6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.12

Fatore $2$ de $- 6$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$7 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$7 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 - \frac{3}{1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$7 - 1 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$7 - 3$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$4$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $4$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $4 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 4 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y - 1 = 4 x - 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 4 x - 4 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$y = 4 x - 3$

Etapa 3