Cálculo Exemplos

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie.

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Etapa 1.3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Etapa 1.5

Divida cada termo em $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.1

Divida cada termo em $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 1.5.3.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Etapa 1.5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = 2$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $2$ na expressão.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Etapa 1.7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 1.7.5

Para escrever $\frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.7.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Etapa 1.7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

Etapa 1.7.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.8.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

Etapa 1.7.8.2

Some $3$ e $6$ .

$\frac{9}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{9}{4}$ e um ponto determinado $(1, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{9}{4}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{9}{4}$ e $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 9$ e $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

Etapa 3