Cálculo Exemplos

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$ , $(0, - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.6

Some $2 y y'$ e $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Mova $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.7.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.10

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Etapa 1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Etapa 1.2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Etapa 1.2.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Etapa 1.2.11.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Etapa 1.2.11.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Etapa 1.2.11.4.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Etapa 1.2.11.4.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Etapa 1.2.11.4.5

Some $y^{3} (2 y')$ e $2 y^{3} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.4.5.1

Reordene $y^{3}$ e $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Etapa 1.2.11.4.5.2

Some $2 \cdot y^{3} y'$ e $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Etapa 1.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Etapa 1.3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Etapa 1.3.7.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Etapa 1.3.7.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Etapa 1.3.7.3.3

Some $1$ e $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Etapa 1.3.7.3.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.3.7.3.5

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $4 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.5.1.3

Fatore $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 0$ e $y = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$\frac{{(0)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $- 2$ na expressão.

$\frac{{(0)}^{3}}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{- 2 ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- 2 (4 - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 2} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{- 4} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.4

Divida $0$ por $- 4$ .

$0 - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.5

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.5.1

Fatore $2$ de $5 (0)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Etapa 1.7.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Etapa 1.7.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.6.1

Fatore $2$ de $5 \cdot (0)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.6.2.1

Fatore $2$ de $(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Etapa 1.7.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Etapa 1.7.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.7

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Etapa 1.7.3.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.8.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$0 - \frac{0}{- (4 - 2)}$

Etapa 1.7.3.8.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$0 - \frac{0}{- 1 \cdot 2}$

Etapa 1.7.3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - \frac{0}{- 2}$

Etapa 1.7.3.10

Divida $0$ por $- 2$ .

$0 - 0$

Etapa 1.7.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.7.4

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(0, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 0 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = 0 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $0 \cdot (x + 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y + 2 = 0 \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$y + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 2$

Etapa 3