Cálculo Exemplos

$y = {(e^{3 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 9$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x} - 4$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{3 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{3 x} - 4$ .

$2 (e^{3 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.4.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x} + 0)$

Etapa 1.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.5.1

Some $3 e^{3 x}$ e $0$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x})$

Etapa 1.4.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 (e^{3 x} - 4) e^{3 x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 e^{3 x} + 6 \cdot - 4) e^{3 x}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 e^{3 x} e^{3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Etapa 1.5.3

Combine os termos.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $e^{3 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.3.1.1

Mova $e^{3 x}$ .

$6 (e^{3 x} e^{3 x}) + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Etapa 1.5.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 e^{3 x + 3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Etapa 1.5.3.1.3

Some $3 x$ e $3 x$ .

$6 e^{6 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Etapa 1.5.3.2

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$6 e^{6 x} - 24 e^{3 x}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$6 e^{6 (0)} - 24 e^{3 (0)}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$6 e^{0} - 24 e^{3 (0)}$

Etapa 1.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$6 \cdot 1 - 24 e^{3 (0)}$

Etapa 1.7.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - 24 e^{3 (0)}$

Etapa 1.7.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$6 - 24 e^{0}$

Etapa 1.7.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$6 - 24 \cdot 1$

Etapa 1.7.1.6

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$6 - 24$

Etapa 1.7.2

Subtraia $24$ de $6$ .

$- 18$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 18$ e um ponto determinado $(0, 9)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 18 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 9 = - 18 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 9 = - 18 x$

Etapa 2.3.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$y = - 18 x + 9$

Etapa 3