Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 9$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.9

Avalie a derivada em $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.10.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.10.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.10.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.10.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.10.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Etapa 1.10.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{6}$ e um ponto determinado $(9, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 3$ e $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Etapa 3