Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Etapa 1.2

Simplifique $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Etapa 1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Etapa 1.2.1.4

Divida $7$ por $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Etapa 1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Etapa 1.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 1.2.3

Combine $7$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Etapa 1.2.5.2

Some $- 1$ e $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = \frac{48}{7}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{7}}{7}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $7$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{7}{7}$ e $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.2.5.2

Divida $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{7}{x^{7}}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{7}}$ como ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{7}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{7})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 14}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $14$ de $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Etapa 2.4.2

Combine $49$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Etapa 2.6.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Etapa 2.6.1.3

Divida $49$ por $1$ .

$1 + 49$

Etapa 2.6.2

Some $1$ e $49$ .

$50$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $50$ e um ponto determinado $(- 1, \frac{48}{7})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $50 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $50$ por $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{48}{7}$ aos dois lados da equação.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $50$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $50$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $50$ por $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $350$ e $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Etapa 4