Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 4) (x^{2} + 8)$ , $(1, - 27)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = - 27$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2} + 8$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 4) (2 x + 0) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(x - 4) (2 x) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$2 \cdot (x - 4) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + 0)$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) \cdot 1$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $x^{2} + 8$ por $1$ .

$2 (x - 4) x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 4) x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} - 8 x + x^{2} + 8$

Etapa 1.3.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x + 8$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 8 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 - 8 + 8$

Etapa 1.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.5.2.1

Subtraia $8$ de $3$ .

$- 5 + 8$

Etapa 1.5.2.2

Some $- 5$ e $8$ .

$3$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(1, - 27)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 27) = 3 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $3 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 27 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 27 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + 27 = 3 x - 3$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$y = 3 x - 3 - 27$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $27$ de $- 3$ .

$y = 3 x - 30$

Etapa 3