Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Etapa 1.2.4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $1$ e $2$ .

$y = \ln (3)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = \ln (3)$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Etapa 2.2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Etapa 2.2.9.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Etapa 2.4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Etapa 2.4.1.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Etapa 2.4.1.6

Some $1$ e $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2.1.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.2.1

Some $- 2$ e $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Etapa 2.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(1, \ln (3))$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Etapa 3.3.2

Some $\ln (3)$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Etapa 4