Cálculo Exemplos

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.6

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Etapa 1.6.1.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 1 + 1$

Etapa 1.6.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 1.6.2.1

Some $0$ e $1$ .

$1 + 1$

Etapa 1.6.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(0, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x + 1$

Etapa 3