Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.3.3

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

Etapa 1.5.2.3

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

Etapa 1.5.2.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

Etapa 1.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1}$

Etapa 1.5.3.2

Divida $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $4$ e um ponto determinado $(4, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $4 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$y = 4 x - 16$

Etapa 3