Cálculo Exemplos

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{3}, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{3}$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3})$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{3}, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Etapa 2.3.1.4.2

Combine $\frac{π}{3}$ e $- 2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Etapa 2.3.1.4.3

Combine $\frac{π \cdot - 2}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $π$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 6}{3}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 6}{3}$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)}{3}$

Etapa 2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Etapa 2.3.3.8

Reescreva $- (2 π \sqrt{3} - 6)$ como $- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Etapa 2.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 6}{3}$

Etapa 3