Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Etapa 1.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 1.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2 x - 2$ por $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $2$ de $2 x - 2$ .

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Etapa 1.3.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ e ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $x - 1$ de $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x - 1}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 1.5.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(2, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $2 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Etapa 3