Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 5$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Etapa 1.2

Combine $2$ e $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.8

Combine frações.

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Etapa 1.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4.8.3

Multiplique $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.2

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.4

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.6

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3.7

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.4

Fatore $8$ de $- 8 x - 24$ .

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Etapa 1.6.4.1

Fatore $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.4.2

Fatore $8$ de $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.4.3

Fatore $8$ de $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.6

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.8

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.7

Avalie a derivada em $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Some $5$ e $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Etapa 1.8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.2.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Etapa 1.8.2.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Etapa 1.8.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.8.3.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Etapa 1.8.3.2

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 1.8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{64}{64}$

Etapa 1.8.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.8.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(5, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.4.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = - x + 5 + 4$

Etapa 2.3.2.2

Some $5$ e $4$ .

$y = - x + 9$

Etapa 3