Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.11

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.12.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.12.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.13.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Etapa 1.1.13.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 4.2

Reescreva $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ como $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 4.3

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$