Cálculo Exemplos

$\int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Etapa 1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Etapa 2

Fatore $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Etapa 4

Simplifique.

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$